Mathématiques : mais pourquoi moins par moins égale plus ?

Dans les siècles qui suivront leur énoncé par Brahmagupta, les règles de multiplication des signes, et en particulier le «moins × moins = plus » ne vont pas laisser de provoquer défiance et interrogations. Ces questionnements dépassèrent largement le monde des mathématiciens et suscitèrent beaucoup d'incompréhension dès lors qu'ils vinrent à être enseignés dans les écoles. Au XIXe siècle, l'écrivain français Stendhal lui-même exprima son incompréhension dans son roman autobiographique Vie de Henry Brulard. L'auteur du Rouge et le Noir et de La Chartreuse de Parme y écrivit les lignes suivantes :

« Suivant moi, l'hypocrisie était impossible en mathématiques et, dans ma simplicité juvénile, je pensais qu'il en était ainsi dans toutes les sciences où j'avais entendu dire qu'elles s'appliquaient. Que devins-je quand je m'aperçus que personne ne pouvait m'expliquer comment il se faisait que : moins par moins donne plus (– × – = +) ? (C'est une des bases fondamentales de la science qu'on appelle l'algèbre.) On faisait bien pis que ne pas m'expliquer cette difficulté (qui sans doute est explicable car elle conduit à la vérité), on me l'expliquait par des raisons évidemment peu claires pour ceux qui me les présentaient. […] J'en fus réduit à ce que je me dis encore aujourd'hui : il faut bien que – par – donne + soit vrai, puisque évidemment, en employant à chaque instant cette règle dans le calcul, on arrive à des résultats vrais et indubitables. »

La règle de multiplication des signes, certes assez étrange au premier abord, prend pourtant tout son sens si l'on repense au système de baguettes imaginé par les savants chinois. Utilisons par exemple ce système pour représenter des gains ou des pertes monétaires. Imaginons qu'une baguette noire représente 5 € tandis qu'une baguette grise représente une dette de 5 €, c'est-à-dire – 5 €. Ainsi, si vous possédez 10 baguettes noires et 5 baguettes grises, votre solde s'élève à 25 €.

Étudions maintenant les différents cas de figure qui peuvent se présenter quand votre compte varie. Imaginez qu'on vous donne 4 baguettes noires supplémentaires, votre solde augmente alors de 20 €. Autrement dit : 4×5 = 20. Le produit de deux nombres positifs est bien positif, jusque-là tout va bien. Si maintenant, on vous donne 4 baguettes grises, c'est-à-dire quatre dettes, votre solde diminue de 20 €. Autrement dit: 4×(–5) = – 20. Un positif multiplié par un négatif donne un négatif. Et de la même manière, si on vous prend 4 baguettes noires, vous perdez également 20 €. Ce qui revient à dire que (– 4)×5 = – 20. Ces deux dernières situations montrent bien que donner des dettes à quelqu'un a le même effet que de lui prendre de l'argent. Ajouter du négatif revient à soustraire du positif. Nous voilà maintenant au point crucial : que devient votre solde si l'on venait à vous prendre 4 baguettes grises. En d'autres termes, que se passet- il si on vous enlève des dettes ? La réponse est claire : votre solde augmente, vous gagnez de l'argent. Ce qui revient bien à dire que (– 4)×(– 5) = 20. Enlever du négatif revient à ajouter du positif ! Moins par moins égale plus.

Extrait du livre "Le grand roman des maths" de Mickaël Launay , édité chez Flammarion